Question

Дифференцированное уравнение: y'cosx+3sinx=1 x0=0, y0=2

Answer 1

Ответ:

$y = \ln |\sin x + 1| + 2\ln |\cos x| + 2.$

Объяснение:

Начнём с классификации данного ДУ. Оно является обыкновенным ДУ первого порядка первой степени с разделяющимися переменными. В таком случае, разделим их:

$y' \cos x + 3 \sin x = 1;\\y' \cos x = 1 - 3 \sin x;\\y' = \frac{1-3 \sin x}{\cos x};$

Перепишем в нотации Лейбница:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{1 - 3 \sin x}{\cos x};\\\text{d}y = \frac{1 - 3 \sin x}{\cos x}\ \text{d}x.$

Переменные оказались успешно разделены. Следующим шагом будет интегрирование обеих частей уравнения.

Левая часть:

$\int \text{d}y = y + c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Правая часть:

$\int \frac{1 - 3 \sin x}{\cos x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{d}x}{\cos x} - 3\int \frac{\sin x}{\cos x}\ \text{d}x = (*).$

Возьмём сначала первый интеграл:

$\int \frac{\text{d}x}{\cos x} = \int \sec x\ \text{d}x = \int \frac{(\sec x)(\text{tg}\, x + \sec x)}{\text{tg}\, x + \sec x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{tg}\, x\sec x + \sec^2x}{\text{tg}\, x + \sec x}\ \text{d}x = (**).$

Сделаем подстановку:

$t = \text{tg}\, x + \sec x;\ \ \text{d}t = (\text{tg}\, x \sec x + \sec^2 x)\ \text{d}x.$

Тогда:

$(**)= \int \frac{\text{d}t}{t} = \ln |t| = \ln|\text{tg}\, x + \sec x| + c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Теперь возьмём второй интеграл:

$\int \frac{\sin x}{\cos x}\ \text{d}x = -\int \frac{\text{d}(\cos x)}{\cos x} = (***).$

Пусть $u = \cos x$, тогда:

$(***)= -\int \frac{\text{d}u}{u} = -\ln |u| = -\ln |\cos x|+c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Тогда в общем:

$(*)= \ln |\text{tg}\, x + \sec x| -3(-\ln|\cos x|) + c =\\= \ln | \text{tg}\, x + \sec x| + 3\ln|\cos x| +c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Теперь совершим преобразования выражения для его упрощения:

$\ln|\text{tg}\, x + \sec x| + 3 \ln |\cos x| + c =\\= \ln|\text{tg}\, x + \sec x| + \ln |\cos^3 x| + c =\\= \ln|(\text{tg}\,x+\sec x)\cos^3x|+c =\\= \ln\left|\left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x}\right) \cos^3x\right| + c=\\= \ln|(\sin x + 1)\cos^2 x|+c=\\= \ln|\sin x + 1| + \ln |\cos ^2 x| + c =\\= \ln |\sin x + 1| + 2\ln|\cos x| + c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Общим решением данного ДУ будет:

$y = \ln|\sin x + 1| + 2\ln|\cos x|+c.\ \ (c \in \mathbb{R})$

Однако решение требуется не общее, а частное, под такие условия:

$y_0 = 2;\ \ x_0 = 0.$

Или, более формально, если $y = y(x)$, то $y(0)=2.$

Подставим тогда данные значения в общее решение и решим уравнение относительно константы $c$:

$2 = \ln|\sin 0 + 1| + 2 \ln|\cos 0| + c;\\2 = \ln |1| + 2\ln|1| + c;\\2 = 0 + 2 \cdot 0 + c;\\2 = c.$

Получили, что $c = 2$. (и действительно, $2 \in \mathbb{R}$.)

Тогда частным решением данного ДУ с заданными условиями будет:

$y=\ln|\sin x + 1| + 2\ln |\cos x| + 2.$