Question

Решите пожалуйста задачу Коши

Answer 1

Ответ:

а)

$y'' - 8y' + 20y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 8k + 20 = 0\\ D= 64 - 60 = 4\\ k_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5 \\ k_2 = 3 \\ \\ y = C_1 {e}^{5x} + C_2 {e}^{3x}$

общее решение

$y(0) = 2,y'(0) = 8$

$y = 5C_1 {e}^{5x} + 3C_2 {e}^{3x}$

$2 = C_1 + C_2\\ 5c1 + 3C_2 = 8 \\ C_1 = C_2 = 1$

$y = {e}^{5x} + {e}^{3x}$

частное решение

б)

$y'' = - 3 \cos(x)$

$y' = - 3\int\limits \cos(x) dx = - 3 \sin(x) + C_1$

$y = \int\limits( - 3 \sin(x) + C_1)dx = 3 \cos(x) + C_1x + C_2$

общее решение

$y(\pi) = 5\pi ,\: y'(\pi) = 5$

$- 3 \sin(\pi) + C_1 = 5 \\ 3 \cos(\pi) + C_1 \times \pi + C_2 = 5\pi \\ \\ C_1 = 5 \\ C_2 = \frac{5\pi + 3}{\pi} = 5 + \frac{3}{\pi}$

$y = 3 \cos(x) + 5x + 5 + \frac{3}{\pi}$

частное решение