Question

чему равен интеграл sqrt(x+1)/sqrt( (x^3+2)*ln(3x-1) ) пределы интегрирования от 2 до +бесконечности.

Answer 1

$\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\big(x^3+2\big)\ln(3x-1)}}\,dx$

Поскольку $\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\big(x^3+2\big)\ln(3x-1)}}\sim \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^3}\cdot\sqrt{\ln(3x)}}}=\dfrac{1}{x\sqrt{\ln 3x}}$ при $x\to +\infty$ (другие "проблемные" точки начальной функции в промежуток, по которому берётся интеграл, не входят), то рассмотрим сходимость интеграла от эквивалентной функции.

$\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{1}{x\sqrt{\ln 3x}}\,dx=3\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{d\left(\ln 3x\right)}{\sqrt{\ln 3x}}=6\sqrt{\ln 3x}\,\bigg|\limits_{2}^{+\infty}\to\infty$

Таким образом, поскольку интеграл от эквивалентной функции расходится на $x\to +\infty$, то и изначальный тоже.

Ответ. $\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\big(x^3+2\big)\ln(3x-1)}}\,dx$ расходится