Question

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння:
y"+8y'+16y=0, якщо х=0, то у=1 та у'=1

Answer 1

Ответ:

$y'' + 8y' + 16y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 8 k + 16) = 0 \\ {(k + 4)}^{2} = 0 \\ k_1 = k_2 = - 4 \\ y = C_1 {e}^{-4x} + C_2 {e}^{-4x} x$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 1$

$y '= -4C_1 {e}^{-4x} -4C_2 {e}^{-4x} x +C_2 {e}^{-4x}$

$1 = C_1 \\ 1 = -4C_1 + C_2 \\ \\ C_1 = 1\\ C_2 = 1 +4C_1 = 5$

$y = {e}^{-4x} +5x {e}^{-4x}$

частное решение