Question

Різниця між п'ятим і другим членами деякої геометричної прогресії, усі члени якої додатні числа, дорівнює 234, а різниця між третім і другим її членами дорівнює 18. Скільки членів цієї прогресії треба взяти, щоб у сумі дістати 120?

Answer 1

Объяснение:

$b_5-b_2=234\ \ \ \ b_3-b_2=18\ \ \ \ q>0\ \ \ \ b_n=120\ \ \ \ n=?\\\left \{ {{b_5-b_2=234} \atop {b_3-b_2=18}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{b_1q^4-b_1q=234} \atop {b_1q^2-b_1q=18}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{b_1q*(q^3-1)=234} \atop {b_1q*(q-1)=18}} \right. .$

Разделим первое уравнение не второе:

$\frac{q^3-1}{q-1}=\frac{234}{18}\\\frac{(q-1)*(q^2+q+1)}{q-1}=13\\q^2+q+1=12\\q^2+q-12=0\\D=49\ \ \ \ \sqrt{D}=7\\\ q_1=-4\notin\ \ \ \ q_2=3.$

$b_1*3*(3-1)=18\\b_1*3*2=18\\6*b_1=18\ |:6\\b_1=3\\S_n=3*\frac{3^n-1}{3-1}=120\\ 3*\frac{3^n-1}{2} =120\ |*\frac{2}{3} \\3^n-1=80\\3^n=81\\3^n=3^4\\n=4.$

Ответ: n=4.