Question

Решить дифференциальное уравнение: а) y ′ tgx − y =1;
б) y ′′ − 2у ′ − 8у = 12sin 2x − 36cos 2x

Answer 1

a)

$y'\cdot tg \, x-y=1 \\ \\ y' \cdot tg \, x =1+y \\ \\ \frac{y'}{1+y}=\frac{1}{tg \, x} \\ \\ \frac{y'}{1+y}=ctg \, x \\ \\ \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{1+y}=ctg \, x \\ \\ \int {\frac{dy}{1+y}}=\int {ctg \, x} \, dx \\ \\ \ln{|1+y|}=\int {\frac{\cos{x}}{\sin{x}}} \, dx \\ \\ \ln{|1+y|}=\int {\frac{d(\sin{x})}{\sin{x}}} \\ \\ \ln{|1+y|}=\ln{|\sin{x}|}+\ln{C} \\ \\ 1+y=C\sin{x} \\ \\ y=C\sin{x}-1$

б)

$y''-2y'-8y=12\sin{2x}-36\cos{2x} \\ \\ y''-2y'-8y=0 \\ \\ \lambda^2-2\lambda-8=0 \\ \\ \lambda_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm6}{2}\\ \\ \lambda_1=\frac{2+6}{2}=4; \ \ \ \ \lambda_2=\frac{2-6}{2}=-2$

$Y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}$

$\widetilde{y}=A\sin{2x}+B\cos{2x} \\ \\ \widetilde{y}'=(A\sin{2x}+B\cos{2x} )'=2A\cos{2x}-2B\sin{2x} \\ \\ \widetilde{y}''=(2A\cos{2x}-2B\sin{2x})'=-4A\sin{2x}-4B\cos{2x} \\ \\ -4A\sin{2x}-4B\cos{2x}-2\cdot (2A\cos{2x}-2B\sin{2x}) -8 \cdot (A\sin{2x}+B\cos{2x})=\\ \\ =-4A\sin{2x}-4B\cos{2x}-4A\cos{2x}+4B\sin{2x}-8A\sin{2x}-8B\cos{2x}= \\ \\ = -12A\sin{2x}+4B\sin{2x}-12B\cos{2x}-4A\cos{2x}=\\\\ =(-12A+4B)\sin{2x}+(-12B-4A)\cos{2x}=12\sin{2x}-36\cos{2x}$

$\left \{ {{-12A+4B=12 \ \ \ \cdot |3} \atop {-4A-12B =-36}} \right. \left \{ {{-36A+12B=36} \ \ \ _+ \atop {-4A-12B=-36}} \right. \\ \\ -40A=0; \\ A=0 \\ \\ -4\cdot0 -12B=-36 \\ -12B=36 \\ B=3$

$\widetilde{y}=3\cos{2x}$

$y=Y+\widetilde{y}=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}+3\cos{2x}$