Question

20 баллов!!!
Задачка Коши​

Answer 1

Ответ:

$y' - y \cos(x) = \sin(2x) \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - uv \cos(x) = \sin(2x) \\ u'v + u(v '- v \cos(x) ) = \sin(2x) \\ \\ 1)v' - v \cos(x) = 0 \\ \frac{dv}{dx} = v \cos(x) \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits\cos(x) dx \\ ln(v) = \sin(x) \\ v = {e}^{ \sin(x) } \\ \\ 2)u'v = \sin(2x) \\ \frac{du}{dx} \times {e}^{ \sin(x) } = 2 \sin(x) \cos(x) \\ u = 2\int\limits {e}^{ - \sin(x) } \sin(x) \cos(x) dx$

решим по частям:

$\int\limits {e}^{ - \sin(x) } \sin(x) \cos(x) dx \\ \\ u = \sin(x) \: \: \: \: du = \cos(x) dx \\ dv = {e}^{ - \sin(x) } \cos(x) \: \: \: v = - \int\limits {e}^{ - \sin(x) } d( - \sin(x)) = - {e}^{ - \sin(x) } \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = - {e}^{ - \sin(x) } \sin(x) + \int\limits {e}^{ - \sin(x) } \cos(x) dx = \\ = - {e}^{ - \sin(x) } \sin(x) - {e}^{ - \sin(x) } + C= \\ = {e}^{ - \sin(x) } ( - \sin(x) - 1) + C$

Получаем:

$u = 2 {e}^{ - \sin(x) } ( - \sin(x) - 1) + C\\ \\ y = uv = \\ = {e}^{ \sin(x) } \times(2 {e}^{ - \sin(x) } ( - \sin(x) - 1) + C) = \\ = - 2\sin(x) - 2+ C {e}^{ \sin(x) }$

общее решение

$y(0) = - 1$

$- 1= - 2 + C \\ C= \frac{1}{2}$

$y = - 1 - \sin(x) +\frac{1}{2}e^{\sin(x)}$

частное решение