Question

Сторона правильного восьмикутника ABCDEFKP дорівнює 8см. Знайти довжину діагоналі АК.

Answer 1

Сторона правильного восьмиугольника ABCDEFKP равна 8 см. Найти длину диагонали АК.

Объяснение:

Найдем радиус описанной окружности из формулы  aₙ=2Rsin(180/n) .

8= 2Rsin(180/8)  , R=4/sin22,5° .

Т.к. восьмиугольник правильный , то все центральные углы равны , ∠АОК=360°:8*2=90°. Поэтому ΔАОК прямоугольный . По т. Пифагора

АК²=ОА²+ОК² ,  АК²=$\frac{4^{2} *2}{sin^{2} 22,5}$  ,   АК= $\frac{4*\sqrt{2} }{sin 22,5}$  . Это выражение можно посчитать двумя способами :

1) используем формулу половинного угла sin $\frac{\alpha }{2}$= $\sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2} }$ , 0≤α≤2π .

sin22,5°=sin $\frac{45}{2}$ = $\sqrt{\frac{1-cos\45 }{2} }$= $\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} }$=  $\sqrt{\frac{2- \sqrt{2} }{4} }$ = $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}$ . Тогда

АК= $\frac{4*\sqrt{2} }{sin 22,5}$  =4√2 :  $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}$ = $\frac{8\sqrt{2} }{\sqrt{2-\sqrt{2} } }$ = 8* $\sqrt{\frac{2}{2-\sqrt{2} } }$ = 8 *$\sqrt{\frac{2*(2+\sqrt{2} )}{(2-\sqrt{2})*(2+\sqrt{2} ) } }$ =

=8* $\sqrt{\frac{2*(2+\sqrt{2} )}{4-2} }$ =8* $\sqrt{2+\sqrt{2} }$ .      Получили АК=8* $\sqrt{2+\sqrt{2} }$ .

2) Учтем , что sin22,5° ≈0,3826 ,    тогда  АК≈14,7852.