Question

X^2y`=y^2-xy+x^2
найти решение однородного дифференциального уравнения 1го порядка, ответ нужен не позже чем через 3 часа с момента публикации вопроса

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} y' = {y}^{2} - xy + {x}^{2} \: \: \: | \div {x}^{2} \\ y = \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } - \frac{y}{x} + 1 \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = {u}^{2} - u + 1 \\ \frac{du}{dx} x = {u}^{2} - 2u + 1 \\ \int\limits \frac{du}{u {}^{2} - 2u + 1} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{d(u - 1)}{(u - 1) {}^{2} } = ln(x) + C\\ \frac{ { {(u - 1)}^{ - 1} } } { - 1} = ln(x ) + C\: \: \: | \times ( - 1)\\ \frac{1}{u - 1} = - ln(x) + C\\ \frac{1}{ \frac{y}{x} - 1 } = - ln(x) + C \\ \frac{x}{y - x} = - ln(x) + C\\ \frac{1}{y - x} = \frac{ - ln(x) + C}{x} \\ y - x = \frac{x}{ - ln(x) + C} \\ y = \frac{x}{C - ln(x) } + x$

общее решение