Question

Решить задачу Коши ,найти решение дифференциального уравнения

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y'\cdot sinx=y\cdot lny\ \ ,\ \ \ \ y(\frac{\pi}{3})=e\\\\\dfrac{dy}{dx}\cdot sinx=y\cdot lny\ \ ,\ \ \ \ \int \dfrac{dy}{y\cdot lny}=\int \dfrac{dx}{sinx}\ \ ,\\\\\\\star \ \ \int \dfrac{dy}{y\cdot lny}=\int \dfrac{dy/y}{lny}=\int \dfrac{d(lny)}{lny}=ln|lny|+C_1\ \ \star \\\\\\\star \star \ \ \int \dfrac{dx}{sinx}=\Big[\ t=tg\dfrac{x}{2}\ ,\ sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}\ ,\ dx=\dfrac{2\, dt}{1+t^2}\ \Big]=\int \dfrac{dt}{t}=\\\\=ln|t|+C_2=ln\Big|tg\dfrac{x}{2}\Big|+C_2\ \ \star \star$

$\ln|lny|=ln\Big|tg\dfrac{x}{2}\Big|+lnC\\\\\\\boxed{\ lny=C\cdot tg\dfrac{x}{2}\ }\\\\\\y\Big(\dfrac{\pi}{3}\Big)=e:\ lne=C\cdot tg\dfrac{\pi}{6}\ ,\ \ 1=C\cdot \dfrac{\sqrt3}{3}\ \ ,\ \ C=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3\\\\\\\boxed{\ lny=\sqrt3\cdot tg\dfrac{x}{2}\ }\ \ \ \ chastnoe\ reshenie$

$2)\ \ y''-8y'+16y=0\\\\k^2-8k+16=0\ \ \to \ \ \ (k-4)^2=0\ \ ,\ \ k_1=k_2=4\\\\\boxed{\ y_{obshee}=e^{4x}\cdot (C_1+C_2x)\ }$