Ученик написал на доске четыре множества чисел A, B, C и D. Множество А состоит из делителей числа а= 2^2001 - 11, множество в В - из делитетелей числa b = 2001^2 - 11, множество с из делителей числа с = 2^2002 + 11, множество D из делителей числа d = 2002^2 + 11. Какие числа он выписал ровно 3 раза? Ответ объясните.
Ответы
Ответ: 3 и 5
Пошаговое объяснение:
Предположим, что некое число n было написано ровно 3 раза, это значит, что оно является делителем трех из чисел:
a = 2^2001 - 11
b = 2001^2 - 11
c = 2^2002 + 11
d = 2002^2 + 11
То есть одно из этих чисел не делится на n, а все остальные делятся.
Рассмотрим первый случай:
На n не делится либо число b либо число d, в обоих этих случаях, на n делятся числа a и c, но тогда их сумма a+c также делится на n:
a+c = 2^2001 - 11 + 2^2002 + 11 = 2^2001 + 2^2002 = 2^2001 * (2+1) =
= 3 * 2^2001
Но число n не может делится на степень двойки, ибо числа a и с являются нечетными (сумма или разность четной степени двойки и нечетного числа 11 является нечетной), а значит, если такое n существует, то n = 3.
Проверим это.
a = 2^2001 - 11 = (3-1)^2001 - 11
Очевидно, что каждый из одночленов многочлена (m-1)^n, кроме одночлена (-1)^n помножен на некоторую ненулевую степень числа m, иначе говоря:
(m-1)^n = m*t + (-1)^n, где t - некоторый многочлен.
Откуда:
a = a = 2^2001 - 11 = (3-1)^2001 - 11 = 3k + (-1)^2001 - 11 = 3k - 12 = 3(k-4), где k - натуральное число.
То есть a делится на 3.
Поскольку a + c также делится на 3, то и с делится на 3.
Нетрудно убедится, что 2001 делится на 3, ибо сумма цифр числа 2001 равна трем, но тогда число b = 2001^2 - 11 НЕ делится на 3.
2002 = 2001 + 1, то есть дает остаток 1 при делении на 3, тогда по уже рассмотренному принципу:
d = 2002^2 + 11 = 3*g + 1^2 + 11 = 3g+ 12 = 3*(g+4), где g - натуральное число.
Таким образом, числа a,c,d имеют делитель 3, а число b не имеет делитель 3, то есть n1 = 3 удовлетворяет условию.
Рассмотрим теперь второй случай:
На n не делится либо число a либо число c, в обоих этих случаях, на n делятся числа b и d, но тогда их разность d - b также делится на n:
d - b = 2002^2 - 2001^2 + 22 = (2002 - 2001)(2001+2002) + 22 = 4003 + 22 = 4025 = 25 * 161 = 5^2 * 7 * 23.
То есть одними из кандидатов на число n являются числа: 5 и 25.
Проверим число b:
b = 2001^2 - 11 = (2*1000 + 1)^2- 11 = 1000*r - 10, где r- натуральное число. Как видим, такое число делится на 5, но не делится на 25. То есть вариант c n = 25 отпадает, а с n = 5 возможен.
d, соответственно, тоже делится на 5.
Проверим c:
c = 2^2002 + 11 = 4^1001 + 11 = (5-1)^1001 + 11 = 5e + (-1)^1001 + 11 = 5e + 10, где е - натуральное число.
То есть с делится на 5.
Проверим a:
a = 2^2001 - 11 = 2* 2^2000 - 11 = 2* 4^1000 - 11 = 2*(5-1)^1000 - 11 =
= 2(5u + (-1)^1000 ) - 11 = 10u - 9 , где u - натуральное число.
То есть a не делится на 5.
Как видим, b,c,d делятся на 5, но a не делится на 5, то есть
n2 = 5 - удовлетворяет условию.
Покажем теперь, что n не может быть кратно 7 и 23.
b = 2001^2 - 11 = ( 3*667)^2 - 11 = (3 * 23 * 29)^2 - 11 - не делится на 23
d = 2002^2 + 11 = (2* 1001)^2 + 11 = (2* 11 * 91)^2 - 11 = (2*11*7*13)^2 - 11 - не делится на 7.
Таким образом, условию удовлетворяют только два числа: 3 и 5