Question

ДАЮ 80 БАЛЛОВ!!!
В треугольнике ABC проведены высота AH и
медиана AM, а также средняя линия KL,
параллельная стороне BC. Какой из углов больше:
угол KHL или угол KML?
Решение с картинкой по возможности.

Answer 1

В треугольнике ABC проведены высота AH и  медиана AM, а также средняя линия KL,  параллельная стороне BC. Какой из углов больше:

угол KHL или угол KML?

Объяснение:

1) Т.к. К, М середины АВ и ВС , то КМ -средняя линия ΔАВС. По т. о средней линии треугольника КМ║АС⇒КМ║АL.

Т.к. L, М середины АC и ВС , то LМ -средняя линия ΔАВС. По т. о средней линии треугольника LМ║АB⇒LМ║АK.

Значит АLMK- параллелограмм по определению и ∠КМL=∠KAL ,по свойству противоположных углов параллелограмма .

2)Т.к. КL║BC  и АН⊥ВС ⇒  КL⊥АН.

  Т.к. КL средняя линия , то АО=ОН ⇒ КL- серединный перпендикуляр , каждая точка которого равноудалена от концов отрезка АН. Поэтому КА=КН и LA=LH  ⇒  

ΔКАН-равнобедренный  :  ∠КАН=∠КНА  ;

ΔLAH -равнобедренный : ∠LAH=∠LHA  ;

3) $\left \{ {{<KHL=<KHA+<LHA} \atop {<KAL=<KAH+<LAH}} \right.$    ⇒ ∠КHL=∠KAL ⇒ ∠КHL=∠KML Вот так неожиданно и странно.

Answer 2

LM=AB/2 (средняя линия)

KH=AB/2 (медиана из прямого угла в △ABH)

KH=LM

Аналогично KM=LH

△KML=△LHK (по трем сторонам) => ∠KML=∠LHK