Question

Помогите пожалуйста решить. Даю 10 баллов.
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти: длину ребра А1А2; угол между ребрами А1А2 и А1А4; площадь грани А1А2А3; объем пирамиды
А1(7, 2, 2), А2(5, 7, 7), А3(5, 3, 1), А4(2, 3, 7).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Даны координаты вершин пирамиды:

А1 (1, 1, 1), А2 (2,

0, 2), А3(2, 2, 2), А4 (3, 4, -3).

Найти:

1) длину ребра А1А2.

|A1A2| = √((2-1)²+(0-1)²+(2-1)²) = √3 ≈ 1,73205.

2) угол α между ребрами А1А2 и А1А3.

Вектор А1А2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).

Вектор А1А3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).

cos α = |1*1+(-1)*1+1*1|/(√(1²+(-1)²+1²)*√(1²+1²+1²) = 1/(√3*√3) = 1/3.

α = arc cos(1/3) = 1,2309594

радиан = 70,528779

градуса.

3) площадь грани А1А2А3.

S = (1/2)*|a × b|.

Найдем векторное произведение векторов:

c = a × b.

a × b = ijkaxayazbxbybz = ijk1-11111 = i ((-1)·1 - 1·1) - j (1·1 - 1·1) + k (1·1 - (-1)·1) =

= i (-1 - 1) - j (1 - 1) + k (1 + 1) = {-2; 0; 2}

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-2)² + 0² + 2²) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.

Найдем площадь треугольника:

S = (1/2)*2√2 = √2 ≈ 1,41421356.

Площадь грани можно также найти по формуле:

S = (1/2)|A1A2|*|A1A3|*sin α.

Синус найдём через найденный косинус угла между векторами:

sin α = √(1-cos²α) = √(1-(1/3)²) = √(8/9) = 2√2/3.

Модули векторов уже найдены при определении косинуса угла:√3 и √3.

Площадь грани A1A2A3 равна:

S = (1/2)*√3*√3*2√2/3 = √2.

4) объем пирамиды А1А2А3A4 (с учётом, что A1A4 =(2;3;-4)).

V = (1/6)*|1 -1 1|

|1 1 1|

|2 3 -4|.

Так как определитель матрицы

∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*((-1)*(-4)-3*1)+2*((-1)*1-1*1) = -12, то объём равен:

V = (1/6)*12 = 2.

5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

Длина высоты пирамиды H=3V/Sосн = 3*2/√2 = 3√2 ≈ 4,242641.