Question

Вычислите значение выражения:
$( \frac{1}{5} ) {}^{ log_{5}(4 + 1 + \frac{1}{4}... ) }$
​

Answer 1

Ответ:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q=1/4  равна:

 $S=4+1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{64}+\cdots =\dfrac{1}{1-q}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{3}$

$\Big(\dfrac{1}{5}\Big)^{log_5\, (4+1+\frac{1}{4}+...)}=\Big(5^{-1}\Big)^{log_5\, \frac{4}{3}}=5^{-log_5\, \frac{4}{3}}=5^{{log_5\, \frac{3}{4}}}=\dfrac{3}{4}=0,75$