Question

Помогите Найти частное решение дифференциального уравнения
Y’’+py’+qy=f(x) ; С удовлетворяющее начальным условиям
y’’-2y’+5=0, y(0)=1,y’(0)=0

Answer 1

Ответ:

$y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} - 2 k + 5 = 0 \\ d = 4 - 20 = - 16 \\ k1 = \frac{2 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i \\ k = 1 - 2i \\ y = {e}^{x}( C1 \sin(2x) + C2 \cos(2x))$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 0$

$y' = {e}^{x} (C1 \sin(2x) + C2 \cos(2x)) + {e}^{x}(2 C1 \cos(2x) - 2 C2 \sin(2x)) = \\ = {e}^{x} ((C1 - 2C2) \sin(2x) + (C2 + 2C1) \cos(2x))$

система:

$1 = {e}^{0} (0 + C2) \\ 0 = {e}^{0} (C2 + 2C1) \\ \\ C2 = 1 \\ C1 = - \frac{1}{2} C2 = - \frac{1}{2}$

$y = {e}^{x} ( \cos(2x) - \frac{1}{2} \sin(2x))$

частное решение