Question

Помогите пожалуйста решить 4 примера линейных дифференциальных уравнений 2 порядка 

Answer 1

Ответ:

В первых трех ДУ везде одна замена:

$y = {e}^{kx}$

a)

$y'' - 3y' - 4y = 0 \\ {k}^{2} - 3 k - 4 = 0 \\ D = 9 + 16 = 25 \\ k1 = 4 \\ k2 = - 1 \\ y = C1 {e}^{4x} + C2 {e}^{ - x}$

общее решение

б)

$y'' + 6y' + 13y = 0 \\ {k}^{2} + 6 k + 13 = 0 \\ D= 36 - 52 = - 16 \\ k1 = \frac{ - 6 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{ - 6 + 4i}{2} = - 3 + 2 i \\ k = - 3 - 2i \\ y = {e}^{ - 3x} (C1 \sin(2x) + C2 \cos(2x) )$

общее решение

в)

$y ''+ 2y '= 0 \\ {k}^{2} + 2 k = 0 \\ k(k + 2) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = - 2 \\ y = C1 + C2 {e}^{ - 2x}$

общее решение

2.

$y'' - 4y' + 5y = - 2x {e}^{x}$

1) Решаем ОЛДУ:

$y'' - 4y' + 5y = 0 \\ y = {e}^ { kx} \\ {k}^{2} - 4 k + 5 = 0 \\ D = 16 - 20 = - 4 \\ k1 = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \\ k2 = 2 - i \\ y = {e}^{2x}( C1 \sin(x) + C2 \cos(x))$

2)подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = {e}^{x} (Ax + B) \\ y = {e}^{x} (Ax + B) + {e}^{x} \times A= \\ = {e}^{x} (Ax + B + A) \\ y = {e}^{x} (Ax + B + A) + {e}^{x} \times A= \\ = {e}^{x} (Ax + 2A + B)$

подставляем в НЛДУ:

${e}^{x} (Ax + 2A + B - 4Ax - 4B- 4A + 5Ax + 5B) = - 2x {e}^{x} \\ {e}^{x} ( 2Ax- 2A + 2B) = - 2 {e}^{x} x \\ \\ 2A = - 2 \\ 2B - 2A = 0 \\ \\ A = - 1 \\ B = A = - 1 \\ \\ y = {e}^{x} ( - x - 1) \\ y = - {e}^{x} (x + 1)$

получаем:

$y = {e}^{2x} (C1 \sin(x) + C2 \cos(x) ) - {e}^{x} (x + 1)$