Question

Із вершини А трикутника ABC проведено перпендикуляр
АК до площини трикутника. Точку К сполучено з його вершинами
В і С. Знайдіть відстань від точки А до площини ВСК, якщо AB =
=13 см, AC = 15 см, ВС = 14 см, а кут між площиною ВСК і площи-
ною трикутника дорівнює 45°.​

Answer 1

Ответ:

6√2 см

Объяснение:

Проведем АН - высоту ΔАВС.

АН - проекция КН на плоскость (АВС), значит КН⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда

∠КНА = 45° - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АВС) и (КВС).

В треугольнике КНА проведем АМ⊥КН.

ВС⊥АН, ВС⊥КН, значит ВС⊥(КНА). Так как АМ лежит в плоскости (КНА), то ВС⊥АМ.

Итак, АМ⊥ВС, АМ⊥КН, значит АМ⊥(КВС), тогда АМ - искомое расстояние от точки А до плоскости (КВС).

Найдем площадь ΔАВС по формуле Герона:

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

Полупериметр ΔАВС:

$p=\dfrac{AB+BC+AC}{2}=\dfrac{13+14+15}{2}=\dfrac{42}{2}=21$ см

$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdot 7\cdot 2\cdot 3}=$

$=7\cdot 3\cdot 2\cdot 2=84$ см²

Площадь ΔАВС:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH$

$AH=\dfrac{2S_{ABC}}{BC}=\dfrac{2\cdot 84}{14}=2\cdot 6=12$ см

ΔАМН - прямоугольный с острым углом 45°, значит равнобедренный.

Гипотенуза АН равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами АМ = МН = х:

$AH=x\sqrt{2}$

$x=\dfrac{AH}{\sqrt{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{2}}=\dfrac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$  

АМ = 6√2 см