Question

В равнобедренном треугольнике точка Е-середина основания АС,  а точка К делит сторону ВС в отношении 2:5, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором прямая ВЕ делит отрезок АК

Answer 1

Пусть Р - точка пересечения ВЕ и АК.
Если через К провести прямую II AC до пересечения с BE в точке N, то NK/EC = BK/BC = 5/(2 + 5) = 5/7; поскольку АЕ = ЕС и треугольники АРЕ и PNK подобны, то KP/PA = NK/AC = NK/EC = BK/BC = 5/7....
Ну, или, если считать от точка А, то АР/PK = 7/5;

Применение теоремы Ван-Обеля позволяет получить ответ в одно действие, надо только учесть, что треугольник равнобедренный.
AP/PK = AE/EC + CK/KB = 1 + 2/5 = 7/5

Answer 2

На самом деле, для теоремы Ван-Обеля важно даже не то, что треугольник равнобедренный, а то, что АЕ - медиана. В этом случае ЧЕВИАНЫ к двум другим сторонам делят их в одинаковой пропорции. Поэтому там и стоит AP/PK = AE/EC + CK/KB. Просто для равнобедренного треугольника это совершенно очевидный факт, что прямая СР при пересечении с АВ поделит её на отрезки, равные CK и KB.