Question

обчислити 1.)sin75 2.)cos105°​

Answer 1

1)

$\sin(75^\circ) = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos(15^\circ)$

используем формулу косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$

$\cos^2(\alpha) = \frac{\cos(2\alpha) + 1}{2}$

$\cos^2(15^\circ) = \frac{\cos(30^\circ) + 1}{2} =$

$= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{4}$

$\cos(15^\circ) > 0$

$\cos(15^\circ) = \sqrt{\frac{\sqrt{3}+2}{4}} = \frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$

2)

$\cos(105^\circ) = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ)$

по формуле косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

$\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin^2(15^\circ) = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{2} =$

$= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\sin(15^\circ) > 0$

$\sin(15^\circ) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos(105^\circ) = -\sin(15^\circ) = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$