Question

Провести полное исследование указанных функций и построить их график ​

Answer 1

$y=\frac{2x-1}{(x-1)^2}$

Пересечение с осью x:

Ответ:

$x=\frac{1}{2}$

Пошаговое решение:

$0=\frac{2x-1}{(x-1)^2}$

$0=\frac{2x-1}{(x-1)^2}\,,x\neq 1$

$2x-1=0$

$2x=1$

$x=\frac{1}{2}$

Пересечение с осью y:

Ответ:

$y=-1$

Пошаговое решение:

$y=\frac{2\times0-1}{(0-1)^2}$

$y=-1$

Облость определения:

Ответ:

$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$

Пошаговое решение:

$(x-1)^2\neq 0$

$x-1=0$

$x=1$

Производная:

Ответ:

$y'=-\frac{2x}{(x-1)^3}$

Пошаговое решение:

$y'=\frac{d}{dx} (\frac{2x-1}{(x-1)^2} )$

$y'=\frac{\frac{d}{dx} (2x-1)\times(x-1)^2-(2x-1)\times\frac{d}{dx}((x-1)^2) }{((x-1)^2)^2}$

$y'=\frac{2(x-1)^2-(2x-1)\times2\times(x-1)}{((x-1)^2)^2}$

$y'=-\frac{2x}{(x-1)^3}$

Точка перегиба:

Ответ:

$(-\frac{1}{2} ;-\frac{8}{9} )$

Пошаговое решение:

$y'=-\frac{2x}{(x-1)^3}$

$y''=\frac{4x+2}{(x-1)^4}$

$0=\frac{4x+2}{(x-1)^4}$

$4x+2=0$

$4x=-2$

$x=-\frac{2}{4}$

$x=-\frac{1}{2}\\x=-1$

В $x = 1$ нет точки перегиба

$(-\infty;-\frac{1}{2} ),(-\frac{1}{2} ;1)$

$x_1=-1\\x_2=0$

$y''=-\frac{1}{8} \\y''=2$

$y=\frac{2x-1}{(x-1)^2} \,,x=-\frac{1}{2}$

$y=-\frac{8}{9}$

График: