Question

15. Расстояние между центрами двух окружностей радиу:
сов 6 см и 2 см равно 10 см. Найти длину отрезка общей внут-
ренней касательной (точки касания находятся по разные
стороны от прямой, соединяющей центры окружностей).
16. Пусть m и n— положительные числа, причем m > n.
Доказать, что треугольник со сторонами m^2+ n^2, m^2– n^2,
2mn является прямоугольным.

Answer 1

Ответ:

$15)\ \ r_1=6\ \ ,\ \ r_2=2\ \ ,\ \ O_1O_2=10\ \ ,\\\\\Delta O_1O_2k_3:\ \ \ \ \angle O_1K_3O_2=90^\circ \ \ ,\ \ O_2K_3=K_1K_2=d\\\\d=O_2K_3=\sqrt{O_2K_3^2-O_1K_3^2}=\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}=\sqrt{10^2-(6+2)^2}=\\\\=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$

Воспользовались тем, что радиус, проведённый в точку касания. перпендикулярен касательной . Смотри рисунок .

$16)\ \ a=(m^2-n^2)\ \ ,\ \ b=2mn\ \ ,\ \ c=(m^2+n^2)\\\\a^2+b^2=c^2\ \ \ (teorema\ Pyphagora)\\\\c^2-a^2=(m^2+n^2)^2-(m^2-n^2)^2=\\\\{}\qquad \quad =(m^4+n^2+2m^2n^2)-(m^4+n^2-2m^2n^2)=4m^2n^2\\\\b^2=(2mn)^2=4m^2n^2\ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ b^2=c^2-a^2\ \ (!!!)\ \ \ \ verno\ \ (!!!)$

Выполняется теорема Пифагора для треугольника с указанными сторонами, значит треугольник прямоугольный .