Question

Помогите решить задачу Коши

Answer 1

Ответ:

$1)y'' - 4y' + 3y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 4 k + 3) = 0 \\ d = 16 - 12 = 4 \\ k1 = 3 \\ k2 = 1 \\ y = C1 {e }^{3x} + C2 {e}^{x}$

$2)у= A {e}^{5x} \\ у' = 5A {e}^{5x} \\ у'' = 25A {e}^{5x} \\ \\ 25A {e}^{5x} - 20A {e}^{5x} + 3A {e}^{5x} = {e}^{5x} \\ 8A {e}^{5x} = {e}^{5x} \\ 8A = 1 \\ A = \frac{1}{8} \\ y = \frac{1}{8} {e}^{5x}$

общее решение:

$у = C1 {e}^{3x} + C2 {e}^{x} + \frac{1}{8} {e}^{5x}$

задача Коши:

$y(0) = 3, y'(0) = 9$

$y' = 3C1 {e}^{3x} + C2 {e}^{x} + \frac{5}{8} {e}^{5x}$

система:

$C1 + C2 + \frac{1}{8} = 3 \\ 3C1 + C2 + \frac{5}{8} = 9 \\ \\ C = \frac{23}{8} - C1 \\ \frac{23}{8} - C1 + 3C1 = \frac{67}{8} \\ \\ 2C1 = \frac{11}{2} \\ C1 = \frac{11}{4} \\ \\ C2 = \frac{23}{8} - \frac{11}{4} = \frac{23 - 22}{8} = \\ = \frac{1}{8}$

$y = \frac{11}{4} {e}^{3x} + \frac{1}{8} {e}^{x} + \frac{1}{8} {e}^{5x}$

частное решение