Question

Найти неопределенные интегралы:
$\int\limits {ln(x-5)} \, dx$
$\int\limits {sin^2(1-x)} \, dx$

Answer 1

Ответ:

1)

$\int\limits ln(x - 5) dx$

решаем по частям:

$U = ln(x - 5) \: \: \: dU = \frac{dx}{x - 5} \\ dV = dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = x$

$UV - \int\limits \: VdU= \\ = x ln(x - 5) - \int\limits \frac{xdx}{x - 5} = \\ = x ln(x - 5) - \int\limits \frac{x - 5 + 5}{x - 5} dx = \\ = x ln(x - 5) - \int\limits \: dx - 5\int\limits \frac{dx}{x - 5} = \\ = x ln(x - 5) - x - 5 ln(x - 5) + C = \\ = (x - 5) ln(x - 5) - x + C$

2 .

$\int\limits { \sin }^{2} (1 - x)dx$

воспользуемся формулой понижения степени

${ \sin}^{2} x = \frac{1 - \cos(2x) }{2}$

$\int\limits \frac{1 - \cos(2(1 - x)) }{2} dx = \int\limits \frac{1}{2} dx - \frac{1}{2} \int\limits \cos(2 - 2x) dx = \\ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \int\limits( - 2) \cos(2 - 2x) dx = \\ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \int\limits \cos(2 - 2x) d(2 - 2x) = \\ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2 - 2x) + C$