Question

Нужно выполнить со 2-4 номер. Даю 80 баллов!!!!!

Answer 1

2.

1)  $y = \dfrac{3}{x} + 2\sqrt{x} - e^x$

$y' = 3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)' + 2(\sqrt{x})' - (e^x)' = 3\cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) + 2\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - e^x = \boxed{-\dfrac{3}{x^2}+ \dfrac{1}{\sqrt{x}} - e^x}$

2) $y = (3x - 5)^4$

$y' = \left((3x-5)^4\right)' = 3\cdot 4(3x-5)^3 = \boxed{12(3x-5)^3}$

3) $y = 3\sin 2x\cos x$

$y' = (3\sin 2x)'\cos x + 3\sin 2x(\cos x)' = 3\cdot 2\cdot \cos 2x\cdot \cos x + 3\sin 2x \cdot (-\sin x) =\\\\= \boxed{6\cos 2x\cos x - 3\sin 2x\sin x}$

4)  $y = \dfrac{x^3}{x^2 + 5}$

$y' = \dfrac{(x^3)'(x^2+5) - x^3(x^2+5)'}{(x^2+5)^2} = \dfrac{3x^2(x^2 + 5) - x^3\cdot 2x}{(x^2+5)^2} = \dfrac{3x^4 + 15x^2 - 2x^4}{(x^2+5)^2} =\\\\\\= \boxed{\dfrac{x^4 + 15x^2}{(x^2+5)^2}}$

3.

$y = \cos 3x\\\\y' = (\cos 3x)' = 3\cdot (-\sin 3x) = -3\sin 3x$

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. То есть:

$k = y'(x_{0}) = -3\sin\left(3\cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -3\sin \dfrac{\pi}{2} = -3\cdot 1 = \boxed{\textbf{-3}}$

Ответ: -3.

4.

$y = x^4 - 2x^3 + 3\\\\y' = (x^4)' - 2(x^3)' + 3' = 4x^3 - 2\cdot 3x^2 + 0 = \boxed{4x^3 - 6x^2}$

Тангенс угла между графиком и осью Ох равен угловому коэффициенту касательной, а он, в свою очередь, равен значению производной в точке касания. Обозначим этот угол $\alpha$.

$tg\alpha = y'(x_{0}) = 4\cdot 0,5^3 - 6\cdot 0,5^2 = 4\cdot 0,125 - 6\cdot 0,25 = 0,5 - 1,5= \boxed{-1}$

Тогда  $\alpha = arctg(tg\alpha) = arctg(-1) = \dfrac{3\pi}{4} = \boxed{135^o}$  .

Ответ: 135°.