Question

Пожалуйста, помогите решить уравнение: (cos^2)(2x)+(cos^2)(4x)=1+cos(8x)

Answer 1

Ответ:

$\pm \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{2} , ~n\in\mathbb {Z};$      $\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}.$

Пошаговое объяснение:

$cos^{2} 2x+cos^{2} 4x=1+cos8x$

Применим формулу косинуса двойного угла

$cos2x= cos^{2} x-sin^{2} x$

$cos^{2} 2x+cos^{2} 4x=1+cos^{2} 4x-sin^{2}4x;\\ \\cos^{2} 2x+cos^{2} 4x=2cos^{2}4x; \\\\cos^{2} 2x+cos^{2} 4x-2cos^{2}4x=0;\\\\cos^{2} 2x-cos^{2} 4x=0|\cdot 2 ;\\\\2cos^{2} 2x-2cos^{2} 4x=0;\\\\1+cos4x -2cos^{2} 4x=0|\cdot(-1);\\\\2cos^{2} 4x-cos4x-1=0$

Пусть $cos4x=t, |t|\leq 1$

Тогда уравнение принимает вид:

$2t^{2} -t-1=0;\\D=(-1)^{2} -4\cdot2\cdot(-1) =1+8=9=3^{2} ;\\t{_1}= \dfrac{1-3}{2\cdot2} =\dfrac{-2}{4} =-\dfrac{1}{2} ;\\\\t{_2}= \dfrac{1+3}{2\cdot2} =\dfrac{4}{4} =1.$

Тогда получим

$1) cos4x=- \dfrac{1}{2} ;\\\\4x= \pm \dfrac{2\pi }{3} +2\pi n, ~n\in\mathbb {Z};\\\\x=\pm \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{2} , ~n\in\mathbb {Z}$

$2) cos4x=1;\\4x=2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\x= \dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}$