Question

Помогите, умоляю! 40 баллов!
Найти асимптоты функций

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y=\frac{x^2+1}{x-1}$

ОДЗ: х-1≠0     х≠1.

1) определим вертикальные асимптоты:

х=1.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x-1}=\frac{1^2+1}{1-1}=\frac{2}{0}=\infty.\ \ \ \ \Rightarrow$

x=1 - вертикальная асимптота.

2) определим наклонные асимптоты:

$y=kx+b\\k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2+1}{x-1} }{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x*(x-1)}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2-x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} -\frac{x}{x^2} } =\\=\frac{1+0}{1-0}=\frac{1}{1}=1.\\b= \lim_{x \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+1}{x-1}-1*x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}=$$= \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-1}= \lim_{ x\to \infty} \frac{\frac{x}{x}+\frac{1}{x} }{\frac{x}{x}-\frac{1}{x} }=\frac{1+0}{1-0}=\frac{1}{1} =1.\ \ \ \ \Rightarrow$

y=x+1 - наклонная асимптота.

Ответ: х=1,  у=х+1.

$y=\frac{2x^2-x+3}{x-1}.$

ОДЗ: х-1≠0     х≠1.

1) определим вертикальные асимптоты:

х=1.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x-1}=\frac{1^2+1}{1-1}=\frac{2}{0}=\infty.\ \ \ \ \Rightarrow$

x=1 - вертикальная асимптота.

2) определим наклонные асимптоты:

$y=kx+b\\k= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2-x+3}{x-1} }{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3}{x*(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3}{x^2-x}=|\frac{:x^2}{:x^2} |=\frac{2}{1}=2.\\b= \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2-x+3}{x-1} -2*x)= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-x+3-2x^2+2x}{x-1}= \lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{x-1}=\\=|\frac{:x}{:x}|=\frac{1}{1}=1.\ \ \ \ \Rightarrow$

y=2x+1 - наклонная асимптота.

Ответ: х=1,  у=2х+1.

$y=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} .$

ОДЗ: 2x²-x-1≠0

2x^2-2x+x-1≠0

2x*(x-1)+(x-1)≠0

(x-1)*(2x+1)≠0

x-1≠0

x≠1

2x+1≠0

x≠-0,5.

1) определим вертикальные асимптоты:

x=1.

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}=\frac{2*1^3-5*1^2+4*1+1}{2*1^2-1-1}=\frac{2-5+4+1}{2-2}=\frac{2}{0}=\infty.\\ \lim_{x \to -0,5} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}=\frac{2*(-0,5)^3-5*(-0,5)^2+4*(-0,5)+1}{2*(-0,5)^2-(-0,5)-1}=\\=\frac{-0,25-0,125-2+1}{0,5+0,5-1}=\frac{-1,375}{0}=\infty.$

x=1 и х=-0,5 - вертикальные асимптоты.

2) определим наклонные асимптоты:

$y=kx+b\\k= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1} }{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{x*(2x^2-x-1)}=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^3-x^2-x}=\\=|\frac{:x^3}{:x^3}|=\frac{2}{2} =1. \\b= \lim_{x \to \infty}( \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}-1*x)= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-5x^2+4x+1-(2x^3-x^2-x )}{2x^2-x-1} =\\= \lim_{x \to \infty}\frac{-4x^2+5x+1}{2x^2-x-1} =|\frac{:x^2}{:x^2}|=\frac{-4}{2}=-2.\ \ \ \ \Rightarrow$

y=x-2.

Ответ: x=1,  x=-0,5,  y=x-2.