Question

Дан правильный тетраэдр ABCS с ребром, равным 4. Найди расстояние между прямыми AB и CS.

Answer 1

Ответ:

2√2

Объяснение:

Прямая CS лежит в плоскости (BSC), прямая АВ пересекает эту плоскость в точке В, не лежащей на прямой CS. Значит, прямые АВ и CS скрещивающиеся.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми является длина их общего перпендикуляра.

Пусть Н - середина CS. Тогда АН и ВН - медианы и высоты равных равносторонних треугольников.

$AH=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

CS⊥AH, CS⊥BH,  ⇒ CS⊥(ABH).

Пусть К - середина АВ, тогда НК - медиана и высота равнобедренного треугольника ABH, НК⊥АВ.

CS⊥(ABH),  НК⊂(АВН),  ⇒ CS⊥HK.

Итак, НК - искомое расстояние.

АК = 1/2 АВ = 2

ΔАНК:   ∠АКН = 90°, по теореме Пифагора

  HK = √(AH² - AK²) = √((2√3)² - 2²) = √(12 - 4) = √8 = 2√2