Question

Исследуйте функцию и постройте ее график.
Распишите как можно подробнее.
Исследуйте данную функцию и постройте её график:
Найти область определения и область значений функции, нули, промежутки монотонности и экстремумы функции, промежутки знакопостоянства.

$y=\frac{x^4-8}{(x+1)^4}$

Answer 1

1. Функция

$y=\dfrac{x^4-8}{(x+1)^4}$

2. Область определения

$\mathbb D(y)=\{x|x\neq-1\}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)=\mathbb R\sqtminus\{-1\}$

3. Область значений

$\mathbb E(y)=(-\infty;8]$

4. Нули

$y=0\Leftrightarrow \dfrac{x^4-8}{(x+1)^4}=0\Leftrightarrow x^4=8\Leftrightarrow x^2=\pm\sqrt8\Leftrightarrow x^2=2\sqrt2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[4]{8}$

5. Экстремумы

$y'=\bigg(\dfrac{x^4-8}{(x+1)^4}\bigg)'=\dfrac{4x^3(x+1)^4+(x^4-8)\cdot4(x+1)^3}{(x+1)^8}=\dfrac{4\cdot(x+1)^3\cdot(x^3+8)}{(x+1)^8}=\dfrac{4\cdot(x^3+8)}{(x+1)^5}$

$y'=0\Leftrightarrow x^3=-8\Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{8}$

Экстремум один, до этой точки функция возрастает, затем до точки -1 убывает (в точке -1 разрыв второго рода как функции, так и производной), после возрастает

6. Промежутки знакопостоянства

$y>0:x\in(-\infty;-\sqrt[4]{8})\cup(\sqrt[4]8;+\infty)\\y<0:x\in(-\sqrt[4]8;-1)\cup(-1;\sqrt[4]8) = (-\sqrt[4]8;\sqrt[4]8)\setminus\{-1\}$

7. График