Question

Найди сумму натуральных чисел, не превосходящих 900, которые делятся на 4 и 5, но не делятся на 3.

Answer 1

Ответ:

13500

Объяснение:

Так как НОД(4; 5)=1, то есть числа 4 и 5 взаимно простые, то число делится на 4 и 5, если делится НОК(4; 5)=·5=20. Отсюда получаем арифметическую прогрессию a(n) с разностью d = 20:

a(1) = 20, a(2) = 40, ..., a(k) = 900 (так как 900/20=45).

Общий член арифметической прогрессии определяется по формуле:

a(n) = a(1) + (n-1)·d.

Находим значение k:

a(k) = a(1) + (k-1)·d ⇔ 900 = 20 + (k-1)·20 ⇔ 45 = 1 + k - 1 ⇒ k = 45.

Сумму всех членов прогрессии находим по формуле:

$\tt S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n.$

Значит:

$\tt S_{45}=\dfrac{20+900}{2} \cdot 45=460 \cdot 45 = 20700.$

Далее, члены этой арифметической прогрессии, делящийся на 3 также образуют арифметическую прогрессию:

60, 120, 180, ..., 900.

Отсюда, в новой арифметической прогрессии b(n):

b(1) = 60, d = 60, b(m) = 900.

Находим значение m:

a(m) = a(1) + (m-1)·d ⇔ 900 = 60 + (m-1)·60 ⇔ 15 = 1 + m - 1 ⇒ m = 15.

Сумму всех членов прогрессии b(n) при n=15:

$\tt S_{15}=\dfrac{60+900}{2} \cdot 15=480 \cdot 15 = 7200.$

Тогда сумма натуральных чисел, не превосходящих 900, которые делятся на 4 и 5, но не делятся на 3 равна:

20700-7200=13500.