Question

Сколькими способами можно расставить цифры от 0 до 9 вместо ∗ в выражении 2019∗∗∗∗ таким образом, чтобы полученное число делилось на 15, 6 и 10?

Answer 1

Ответ:

334

Объяснение:

Чтобы полученное число делилось на 15, 6 и 10 полученное число должен делится на НОК(15; 6; 10)=30. Так как 30=3·10 и НОД(3; 10)=1, то достаточно, чтобы полученное число делилось на 3 и 10.

Признак делимости на 10:

число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра равна 0.

На основе этого признака заключаем, что достаточно рассмотреть числа вида 2019∗∗∗0 и расставить цифры от 0 до 9 вместо ∗.

Признак делимости на 3:

число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3.

Так как 2+0+1+9+0=12 и 12 делится на 3, то на основе последнего признака заключаем, что достаточно определить количество чисел вида 2019xyz0, для которого сумма цифр x+y+z делится на 3.

Значит, получим арифметическую прогрессию с разностью d=3, первым членом $\tt a_1$=000=0 и $\tt a_n$=999.

Известно формула общего члена арифметической прогрессии

$\displaystyle \tt a_n=a_1+(n-1) \cdot d.$

По известным данным находим n:

$\displaystyle \tt 999=0+(n-1) \cdot 3 \\\\n-1 =999:3\\\\n=333+1\\\\n=334.$