Question

(2x+1)dy=(y-1)dx найти частные решения дифференциальное уравнений​ если y(3)=-13

Answer 1

Ответ:

$y(x)=-2\sqrt{14x+7}+1$

Пошаговое объяснение:

1 Запишем

$(2x+1)dy=(y-1)dx$

2 Определим тип уравнения

Уравнение с разделяющимися переменными

3 Разделим переменные

$\dfrac{dx}{(2x+1)}=\dfrac{dy}{y-1}$

4 Проинтегрируем обе части

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{(2x+1)}=\int\dfrac{dy}{y-1}$

5 Запишем первый и второй интегралы по-другому

$\displaystyle\dfrac12 \int\dfrac{d(2x+1)}{(2x+1)}=\int\dfrac{d(y-1)}{y-1}$

6 Проинтегрируем, учитывая что $\displaystyle \int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+const$

$\dfrac12\ln|2x+1|+C=\ln|y-1|$

7 Запишем константу как логарифм константы

$\dfrac12\ln|2x+1|+\ln c=\ln|y-1|$

8 Внесем множитель $\dfrac12$ как степень в логарифм

$\ln\sqrt{|2x+1|}+\ln c=\ln|y-1|$

9 Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения

$\ln c\sqrt{|2x+1|}=\ln|y-1|$

10 Уберем логарифмы

$c\sqrt{|2x+1|}=|y-1|$

11 Уберем модули так как константа может принимать и отрицательные значения

$y(x)=c\sqrt{2x+1}+1$

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

$y(x)=c\sqrt{2x+1}+1$

Найдем частное решение, составив равенство

1 Запишем

$y(3)=-13$

2 Заменим функцию

$c\sqrt{2\cdot3+1}+1=-13$

3 Решим уравнение

$c\sqrt{7}=-14\\c=-\dfrac{14}{\sqrt7}\\c=-\dfrac{14\sqrt7}{7}\\c=-2\sqrt7$

4 Подставим значение с в нашу функцию

$y(x)=-2\sqrt7\sqrt{2x+1}+1$

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

$y(x)=-2\sqrt{14x+7}+1$