Question

log5(x-3)+2=log5(x-2)+log3( 5)

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac{2\cdot5^{\log_35}+75}{25+5^{\log_35}}$

Пошаговое объяснение:

1 Запишем уравнение

$\log_5(3-x)+2=\log_5(x-2)+\log_35$

2 Запишем ОДЗ: аргумент логарифма строго больше 0

$\displaystyle \left \{ {{3-x>0} \atop {x-2>0}} \right.$

3 Решим эту систему неравенств

$\displaystyle \left \{ {{3-x>0} \atop {x-2>0}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{3>x} \atop {x>2}} \right.\Leftrightarrow x\in(2;3)$

4 Запишем 2 как $\log_525$ и $\log_35$ как $\log_55^{\log_35}$

$\log_5(3-x)+\log_525=\log_5(x-2)+\log_55^{\log_35}$

5 Воспользуемся формулой $\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)$

$\log_5\bigg((3-x)\cdot25\bigg)=\log_5\bigg((x-2)\cdot5^{\log_35}\bigg)$

6 Уберем логарифмы (все ограничения записаны в ОДЗ)

$(3-x)\cdot25=(x-2)\cdot5^{\log_35}$

7 Перед нами линейное уравнение

$75-25x=5^{\log_35}x-2\cdot5^{\log_35}$

8 Все что с х налево, все что без направо

$-25x-5^{\log_35}x=-2\cdot5^{\log_35}-75$

9 Умножим все на -1 и вынесем х

$\big(25+5^{\log_35}\big)x=2\cdot5^{\log_35}+75$

10 Выразим х

$x=\dfrac{2\cdot5^{\log_35}+75}{25+5^{\log_35}}$

11 Оценим значение, чтобы понять, принадлежит ли оно промежутку

$\dfrac{2\cdot5^{\log_35}+75}{25+5^{\log_35}}\approx\dfrac{2*10.6+75}{25+10.6}\approx\dfrac{96.13}{35.57}\approx2.703$

Принадлежит промежутку.

Тогда это ответ!