Question

Найдите наибольшее значение функции y=2x-ln(x+4)^2 на отрезке [-3,5;0]
Дайте пожалуйста подробный ответ,

Answer 1

Ответ:

yнаиб = –2·ln4

Объяснение:

Дана функция y=2·x–ln(x+4)² на отрезке [–3,5; 0].

Область определения функции: (x+4)² > 0 или x ≠ –4, то есть

D(y)=(–∞; –4) ∪ (–4; +∞). Ясно: [–3,5; 0] ⊂ D(y).

1) Вычислим производную от функции:

$\displaystyle \tt y'=(2 \cdot x-ln(x+4)^2 )'=2 \cdot (x)'-(ln(x+4)^2 )'= \\\\=2 \cdot 1-\frac{1}{(x+4)^2} \cdot ((x+4)^2)'=2-\frac{1}{(x+4)^2} \cdot 2 \cdot (x+4) \cdot (x+4)'=\\\\=2-\frac{2 \cdot (x+4)}{(x+4)^2} \cdot 1=2-\frac{2 }{x+4} .$

2) Находим критические точки:

$\displaystyle \tt y'=0 \Leftrightarrow 2-\frac{2 }{x+4} =0 \Leftrightarrow \frac{2 \cdot x +8-2 }{x+4} =0 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{2 \cdot x +6 }{x+4} =0 \Rightarrow 2 \cdot x +6 =0 \Leftrightarrow 2 \cdot x = -6 \Leftrightarrow x=-3.$

3) Так как –3 ∈ [–3,5; 0], то вычислим значения функции при x= –3,5, x= –3 и x= 0:

y(–3,5) = 2·(–3,5)–ln(–3,5+4)² = –7–ln0,5² = –7–ln0,25 =

= –7–ln4⁻¹= –7 + ln4;

y(–3) = 2·(–3)–ln(–3+4)² = –6–ln1² = –6–ln1 = –6–0 = –6;

y(0) = 2·0–ln(0+4)² = 0–ln4² = –2·ln4.

4) Определим наибольшее значение функции среди чисел

–7 + ln4, –6, –2·ln4:

а) –7 + ln4 – (–6) = –7 + ln4 + 6 = –1 + ln4 > –1 + lne = –1 + 1 = 0, то есть

 –7 + ln4 > –6;

б) –7 + ln4 –(–2·ln4) = –7 + ln4 + 2·ln4 = –7 + 3·ln4 < –7 + 3·lne² =

= –7 + 3·2·lne = –7 + 6·1 = –7 + 6 = –1 < 0, то есть

 –7 + ln4 < –2·ln4.

В итоге:

–6 < –7 + ln4 < –2·ln4.

Значит, функция y=2·x–ln(x+4)² принимает наибольшее значение на отрезке [–3,5; 0] при x = 0.