Question

Найдите Корни симметрического многочлена
x⁴+2x³-x²+2x+1
​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x=-\frac32\pm\frac12\sqrt5\\x=\frac12\pm i\frac12\sqrt3$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle x^4+2x^3-x^2+2x+1=0$

х = 0 - не является корнем данного многочлена, это значит, что мы можем поделить обе части на х².

$\displaystyle x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\\\frac1{x^2}(x^4+2x^3-x^2+2x+1)=0\\x^2+2x-1+2\frac1x+\frac1{x^2}=0\\x^2+\frac1{x^2}+2(x+\frac1x)-1=0$

Сделаем замену

$\displaystyle t=x+\frac1x$

Тогда

$\displaystyle t^2-2=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=x^2+2+\frac{1}{x^2}-2=x^2+\frac{1}{x^2}$

Перепишем уравнение

$\displaystyle t^2-2+2t-1=0\\t^2+2t-3=0\\(t+3)(t-1)=0\\\left [ {{t=-3} \atop {t=1}} \right.$

Мы нашли значение t. Осталось сделать обратную замену и решить это уравнение.

Буду решать каждое уравнение по отдельности.

1)  t = -3

$\displaystyle x+\frac1x=-3\\x^2+1=-3x\\x^2+3x+1=0\\x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4*1*1}}{2}\\x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}\\x=-\frac32\pm\frac12\sqrt5$

2) t = 1

$\displaystyle x+\frac1x=1\\x^2+1=x\\x^2-x+1=0\\x=\frac{1\pm\sqrt{1-4*1*1}}{2}\\x=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\\x=\frac12\pm i\frac12\sqrt3$

Мы нашли все корни!