Question

Прошу помочь с нахождением производной следующих функций (100 баллов)

Answer 1

$1)\ \ y=(x^2+lnx)^3\\\\y'=3\, (x^2+lnx)^2\cdot \Big(2x+\dfrac{1}{x}\Big)\\\\\\2)\ \ y=(sin^2x)\cdot (sinx^2)\\\\y'=2sinx\cdot cosx\cdot (sinx^2)+sin^2x\cdot cosx^2\cdot 2x\\\\\\3) \ y=x^{2lnx}\ \ \ \to \ \ \ \ lny=2\, lnx\cdot lnx\ \ ,\ \ lny=2\cdot ln^2x\ ,\\\\\dfrac{y'}{y}=2\cdot 2\, lnx\cdot \dfrac{1}{x}\\\\\\y'=y\cdot \dfrac{4\, lnx}{x}\ \ \to \ \ \ y'=x^{2\, lnx}\cdot \dfrac{4\, lnx}{x}=x^{2\, lnx-1}\cdot 4\, lnx=4\, x^{2\, lnx-1}\cdot lnx$

$4)\ \ \left\{\begin{array}{l}x=ln(4+t^2)\\y=arctg\dfrac{t}{2}\end{array}\right\\\\\\x'_{t}=\dfrac{2t}{4+t^2}\ \ ,\ \ \ y'_{t}=\dfrac{1}{1+\frac{t^2}{4}}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4+t^2}\\\\\\y'_{x}=\dfrac{2}{4+t^2}\cdot \dfrac{4+t^2}{2t}=\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{\sqrt{e^{x}-4}}$

Answer 2

5. берем производную от степенной, а потом от суммы степенной и логарифмической функций и перемножаем, т.е.

y'=((x²+lnx)³)'=3*(x²+lnx)²*(2x+(1/x))

6. y'=2sinx*cosx*sinx²+2x*sin²x*cosx²=sin2x*sinx²+2x*sin²x*cosx²

7. это логарифмическое дифференцирование. возьмем логарифмы от обеих частей. потом продифференцируем.

㏑y=㏑х^(2㏑x)

y'/y=(2㏑²x)'

y'/y=(4㏑x)/x

y'=y*(4㏑x)/x=4㏑x*x^(2㏑x-1)

8. x't=2t/(4+t²) /это икс штрих по т э/

y't=0.5*(1+t²/4)=4*0.5/(4+t²)=2/(4+t²)  / это игрек штрих по тэ/

Теперь найдем игрек штрих по икс.

(2/(4+t²) ):(2t/(4+t²))=1/t