Question

2cos^2x - sinx - 1=0 знаю, что нужно использовать формулы понижения степени, но в конечно ответе всё равно получатся какая-то ерунда

Answer 1

Из основного тригонометрического тождества $sin^2 x+cos^2x=1$ выразим $cos^2x$, т.е. $cos^2x=1-sin^2x$. Подставив в исходное уравнение, получим $2(1-sin^2x)-sin x-1=0$. Раскрывая скобки и упрощая в левой части уравнения, мы придем к следующему уравнению $-2sin^2x-sin x+1=0$. Для удобства умножим обе части на (-1), получаем $2sin^2x+sin x-1=0$.

Произведем замену. Пусть $sin x=t$, при условии, что $|t| leq 1$, получим $2t^2+t-1=0$.
$D=b^2-4ac=1^2-4cdot2cdot(-1)=9$
$t_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1+3}{2cdot2} = dfrac{1}{2} ;\ t_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{-1-3}{2cdot2}=-1$

Сделаем обратную замену.
$sin x= dfrac{1}{2}$  откуда  $x_1=(-1)^ncdot dfrac{pi}{6} +pi n,n in Z$
$sin x=-1$  откуда  $x_2=- dfrac{pi}{2}+2 pi n,n in Z$


Ответ: x₁=(-1)ⁿ·π/6 + πn, x₂ = -π/2 + 2πn, где n - целые числа.