Question

Для любого целого положительного n доказать равенство:

$1*(n-1) + 2*(n-2) + ... + (n-1)*1 = \frac{(n-1)n(n+1)}{6}$

Answer 1

методом мат. индукции.

1. база n=1  проверяем справедливость равенства для n=1

(n-1)n(n+1)=0,0/6=0

верно.

2. предположим, что для n=к равенство справедливо.

(к-1)*к*(к+1)

3. докажем, что для n=к+1  равенство тоже выполняется.

т.е. (к+1-1)*(к+1)*(к+1+1)/6

к*(к+1)*(к+2)

Положительное целое - это натуральное, из трех подряд идущих натуральных чисел обязательно одно четное, т.е. делится на два. и одно делится на три, значит, произведение делится на шесть. Доказано.