Question

Алгебра. Розв'язування показникових нерівностей

Answer 1

1)

ОДЗ:   $x^2-x-6\geq0$   ⇒      $(x+2)(x-3)\geq 0$   ⇒  $x \in (-\infty; -2] \cup [3;+\infty)$

$(2^{x}-2)\cdot \sqrt{x^2-x-6} \geq 0$      ⇔

$(2^{x}-2)\cdot \sqrt{x^2-x-6} =0$    или   $(2^{x}-2)\cdot \sqrt{x^2-x-6} >0$

$(2^{x}-2)\cdot \sqrt{x^2-x-6} =0$      ⇒     $2^{x}-2=0$   или   $\sqrt{x^2-x-6} =0$   ⇒

$x=1$   или    $x=-2$     или    $x=3$

$x=1$       не входит в ОДЗ

два корня    $x=-2$     или    $x=3$

$(2^{x}-2)\cdot \sqrt{x^2-x-6} >0$     при    $x \in (-\infty; -2] \cup [3;+\infty)$

$\sqrt{x^2-x-6} >0$,   тогда     $2^{x}-2>0$  ⇒     $2^{x}>2$   ⇒     $x > 1$

C учетом $x \in (-\infty; -2] \cup [3;+\infty)$  получаем ответ:  

$\{-2\} \cup [3;+\infty)$

2)

ОДЗ:   $x^2-2x-8\geq0$   ⇒      $(x+2)(x-4)\geq 0$   ⇒  $x \in (-\infty; -2] \cup [4;+\infty)$

$(3^{x-2}-1)\cdot \sqrt{x^2-2x-8} \leq 0$      ⇔

$(3^{x-2}-1)\cdot \sqrt{x^2-2x-8} =0$    или   $(3^{x-2}-1)\cdot \sqrt{x^2-2x-6} <0$

$(3^{x-2}-1)\cdot \sqrt{x^2-2x-8} =0$      ⇒     $3^{x-2}-1=0$   или   $\sqrt{x^2-2x-8} =0$   ⇒

$x=2$   или    $x=-2$     или    $x=4$

$x=2$       не входит в ОДЗ

два корня    $x=-2$     или    $x=4$

$(3^{x-2}-1)\cdot \sqrt{x^2-2x-8} <0$     при    $x \in (-\infty; -2] \cup [4;+\infty)$

$\sqrt{x^2-2x-8} >0$,   тогда     $3^{x-2}-1<0$  ⇒     $3^{x-2}<1$   ⇒     $x-2<0$

C учетом      $x \in (-\infty; -2] \cup [4;+\infty)$  получаем ответ:  

$(-\infty;-2]\cup \{2\}$

3)

$\sqrt{6\cdot 3^{x}-2} >3^{x}+1$

Так как     $3^{x}+1 >0$         при любых х, возводим данное неравенство в квадрат:

$6\cdot 3^{x}-2>(3^{x})^2+2\cdot 3^{x}+1$

$(3^{x})^2-4\cdot 3^{x}+3 <0$

D=16-12=4

$(3^{x}-1)(3^{x}-3) <0$

$1< 3^{x} <3$

Показательная функция с основанием 3 возрастает

$0 < x < 1$

О т в е т. (0;1)

4)

$\sqrt{2\cdot 5^{x+1}-1} >5^{x}+2$

Так как     $5^{x}+2 >0$         при любых х, возводим данное неравенство в квадрат:

$2\cdot 5^{x+1}-1>(5^{x})^2+4\cdot 5^{x}+4$

$5^{x+1}=5\cdot 5^{x}$

$(5^{x})^2-6\cdot 5^{x}+5 <0$

D=36-20=16

$(5^{x}-1)(5^{x}-5) <0$

$1< 5^{x} <5$

Показательная функция с основанием 5 возрастает

$0 < x < 1$

О т в е т. (0;1)