Question

Алгебра. Розв'язування показникових нерівностей

Answer 1

1)

$3^{x} > 5^{x}$

Так как    $5^{x} >0$  при любых х, делим обе части неравенства на $5^{x}$

$\frac{3^{x}}{5^{x}} >1$     ⇒     $(\frac{3^}{5} )^{x}>(\frac{3^}{5} )^{0}$

Показательная функция с основанием     $0 <\frac{3^}{5}< 1$     убывает, то

$x < 0$

О т в е т. $(-\infty; 0)$

2)

$7^{x-1} \leq 2^{x-1}$

$7^{x-1} \leq 2^{x-1}$

Так как    $2^{x-1} >0$  при любых х, делим обе части неравенства на $2^{x-1}$

$\frac{7^{x-1}}{2^{x-1}} \leq 1$     ⇒     $(\frac{7^}{2} )^{x-1}\leq (\frac{7^}{2} )^{0}$

Показательная функция с основанием     $\frac{7}{2}> 1$    возрастает, то

$x -1\leq 0$

О т в е т. $(-\infty;1]$

3)

$2^{2x+1}-5\cdot 6^{x}+3^{2x+1}\geq 0$

$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 6^{x}+3\cdot 3^{2x}\geq 0$

Так как    $3^{2x} >0$  при любых х, делим обе части неравенства на $3^{2x}$

$2\cdot (\frac{2}{3})^{2x}-5\cdot(\frac{2}{3})^{x}+3\geq 0$

D=25-4·2·3=25-24=1

$2\cdot( (\frac{2}{3})^{x}-\frac{3}{2})\cdot((\frac{2}{3})^{x}-1)\geq 0$

$\frac{2}{3}^{x}\leq 1$      или     $\frac{2}{3}^{x}\geq \frac{3}{2}$

$x\geq 0$       или      $x \leq -1$

О т в е т. $(-\infty; -1]\cup [0;+\infty)$

4)

$5\cdot 3^{2x}+15\cdot 5^{2x-1}}\leq 8\cdot 15^{x}$

$5\cdot 3^{2x}-8\cdot 15^{x}+15\cdot 5^{2x}\cdot 5^{-1}}\leq0$

$5\cdot 3^{2x}-8\cdot 15^{x}+3\cdot 5^{2x}\leq0$

Так как    $5^{2x} >0$  при любых х, делим обе части неравенства на $3^{2x}$

$5\cdot (\frac{3}{5})^{2x}-8\cdot(\frac{3}{5})^{x}+3\leq 0$

D=64-4·5·3=64-60=4

$5\cdot( (\frac{3}{5})^{x}-\frac{3}{5})\cdot((\frac{3}{5})^{x}-1)\leq 0$

$\frac{3}{5}\leq \frac{3}{5}^{x}\leq 1$      

так как показательная функция с основанием $0 <\frac{3}{5}<1$  убывающая, то  

$0 \leq x\leq 1$      

О т в е т. $[0; 1]$

Answer 2

Ответ: приложено

Объяснение: