Question

Решить уравнение $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=3-x$

Answer 1

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=3-x\\f\left ( x \right )=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\\g\left ( x \right )=3-x$

Так как функция f(x) монотонно возрастает,а g(x) монотонно убывает,то корень только один,который угадывается

x=1

Answer 2

Ответ: 1

Объяснение:

$\sqrt{x-1} +\sqrt{x+3} = 3-x$

$x\geq 1$

Поскольку левая часть уравнения монотонно возрастает при $x\geq 1$, то

$\sqrt{x-1} +\sqrt{x+3} \geq \sqrt{1-1} +\sqrt{1+3} = 2$

С другой стороны, левая часть равенства монотонно убывает при $x\geq 1$:

$3-x \leq 3-1 = 2$

Но такое возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны $2$ .  

$3-x= 2\\x=1$

Подставим $x=1$ в левую часть уравнения:

$\sqrt{1-1} +\sqrt{1+3}=2$

Верно, значит $x=1$ единственное решение.

Этот же результат можно получить подбором:

$f(x) = \sqrt{x-1} +\sqrt{x+3}+x-3$

Поскольку данная функция монотонно возрастает, то может пересечь ось x в не более чем одной точке, иначе говоря, уравнение:

$f(x) = 0$

имеет не более чем одно решение, которое нетрудно найти подбором:

$x=1$