Question

Найдите $x_{1}$ и $x_{2}$ - абсциссы точек экстремума функции $y = x^{3} + a_{1} x^{2} + a_{2} x + a_{3}$, центрально-симметричных относительно начала координат, и вид функции, если $f(x_{2} ) = 11$ и $f(x_{1} ) = 7$

Answer 1

$f(x_{1})=x^3_{1}+a_{1}x^2_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}$      и      $f(x_{1})=7$, то

$x^3_{1}+a_{1}x^2_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}=7$

$f(x_{2})=x^3_{2}+a_{1}x^2_{2}+a_{2}x_{2}+a_{3}$     и       $f(x_{2})=11$, то

$x^3_{2}+a_{1}x^2_{2}+a_{2}x_{2}+a_{3}=11$

$x_{1}$    и   $x_{2}$   -   точки экстремума функции, производная которой  

$f`(x)=3x^2+2a_{1}x^2+a_{2}$,

и

$f`(x)=0$  в  точках   $x_{1}$   и   $x_{2}$ :

$f`(x_{1})=3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}$

и

$f`(x_{2})=3x^2_{2}+2a_{1}x^2_{2}+a_{2}$, то

$3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}=0$

$3x^2_{2}+2a_{1}x_{2}+a_{2}=0$

 $x_{1}$   и   $x_{2}$   -   точки экстремума функции   центрально- симметричные относительно начала координат, значит    $x_{2}$   =  -    $x_{1}$

$3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}=0$

$3x^2_{1}-2a_{1}x_{1}+a_{2}=0$

⇒ $a_{1}=0$

Решаем систему :

$\left \{ {{x^3_{1}+a_{1}x^2_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}=7} \atop {{x^3_{2}+a_{1}x^2_{2}+a_{2}x_{2}+a_{3}=11}\atop {{{3x^2_{1}+2a_{1}x_{1}+a_{2}=0}} \atop { x_{2} = -x_{1} }}} \right.$         $\left \{ {{x^3_{1}+a_{2}x_{1}+a_{3}=7} \atop {{-x^3_{1}-a_{2}x_{1}+a_{3}=11}\atop {{{3x^2_{1}+a_{2}=0}} }}} \right.$

Складываем первые два уравнения и вычитаем:

$\left \{ {{2a_{3}=18} \atop {{2x^3_{1}+2a_{2}x_{1}=-4}\atop {{{3x^2_{1}+a_{2}=0}} }}} \right.$

$\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x^3_{1}+a_{2}x_{1}+2=0}\atop {{{a_{2}=-3x^2_{1}}} }}} \right.$       $\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x^3_{1}-3x^2_{1}\cdot x_{1}+2=0}\atop {{{a_{2}=-3x^2_{1}}} }}} \right.$    $\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x^3_{1}=1}\atop {{{a_{2}=-3x^2_{1}}} }}} \right.$   $\left \{ {{a_{3}=9} \atop {{x_{1}=1}\atop {{{a_{2}=-3}} }}} \right.$

О т в е т.  $x_{1}=1; x_{2}=-1; f(x)=x^3-3x+9$