Question

Срочно!!! 31 задание.

Answer 1

$2 sin(x + \frac{\pi}{6}) + cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Согласно методу Ньютона: $x_n \leftarrow x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$ при стремлении n к бесконечности $x = x_n$.

Зная это, мы можем найти корень уравнения с заданой точностью.$f(x) = 2 sin(x + \frac{\pi}{6}) + cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$f'(x) = 2 cos(x + \frac{\pi}{6}) - sin(x + \frac{\pi}{6})$

Пусть точность ε = 0.0001, а начальное приближение $x_0 = 1$.

Определим наименьший положительный корень итеративно:

$x_1 = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 - \frac{1.17892}{-0.90452} = 2.30336; |x_1 - x_0| = 1.3 > eps$

$x_2 = 2.30336 - \frac{f(2.30336)}{f'(2.30336)} = 2.30336 - \frac{-1.19801}{-2.21129} =1.76159; |x_2 - x_1| = 0.54 > eps$$x_3 = 1.76159 - \frac{f(1.76159)}{f'(1.76159)} = 1.76159 - \frac{-0.01021}{-2.06581} =1.75665; |x_3 - x_2| = 0.0049 > eps$

$x_4 = 1.75665 - \frac{f(1.75665)}{f'(1.75665)} = 1.75665 - \frac{-0.000015}{-2.06155} =1.75664; |x_4 - x_3| = 0.000005 < eps$

За четыре итерации мы получили корень с заданным приближением: $x = 1.75664$.

Для доказательства того, что корень наименьший положительный рассмотрим корень, полученный тем же путём при начальном приближении $x_0 = 0$. $x = -0.58955$.

Ближайшее меньшее приближение даёт наибольший отрицательный корень.

Ответ: $x = 1.75664$