Question

sin^(1995)x+cos^(1995)x=1 помогите
​

Answer 1

Ответ:

$2\pi k, \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, k, n\in\mathbb{Z}$

Объяснение:

Заметим, что отрицательные значения синуса или косинуса не подходят: если одна из функций меньше нуля, то другая функция не превосходит единицу, а значит, и вся левая часть меньше единицы. Тогда $0\leq \sin^{1995}{x},\cos^{1995}{x}\leq 1$ (*)

С учётом этого справедливы неравенства:

$\displaystyle \left \{ {{\sin^{1995}{x}\leq \sin^2{x}} \atop {\cos^{1995}{x}\leq \cos^2{x}}} \right.$

Если сложить эти неравенства, получим $\sin^{1995}{x}+\cos^{1995}{x}\leq \sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Левая часть не превосходит единицу, а равенство достигается, когда неравенства превращаются в равенство:

$\sin^{1995}{x}=\sin^2{x}\\\sin^{1995}{x}-\sin^2{x}=0\\\sin^2{x}(\sin^{1993}{x}-1)=0\\\sin{x}=0;1$

Аналогично $\cos{x}=0;1$. Отметив корни уравнений на тригонометрическом круге, увидим, что $x=\dfrac{\pi n}{2}, n\in\mathbb{Z}$.

Учитывая ограничение (*), точки, где $\sin{x},\cos{x}<0$ (II, III, IV четверти) не подходят. Тогда $x=2\pi k, \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, k, n\in\mathbb{Z}$.