Question

Найдите число корней уравнения 3sin3x+sin9x=cos4x-cos10x на промежутке [0;2pi].

Answer 1

$3sin3x + sin9x = cos4x-cos10x\\3sin3x + 3sin3x - 4sin^33x = -2sin7x*sin(-3x)\\6sin3x - 4sin^33x = 2sin3x*sin7x\\4sin^33x + 2sin3x(sin7x-3) = 0\\2sin^33x + sin3x(sin7x-3) = 0\\sin3x*(2sin^23x + sin7x - 3) = 0\\sin3x*(1-cos6x + sin7x-3) = 0\\sin3x*(sin7x - cos6x - 2) = 0$

Проанализировав полученное уравнение, понимаем, что нулю оно равняется в двух случаях: когда первый множитель равен нулю или когда второй множитель равен нулю.

С первым все понятно: $sin3x = 0 => 3x = \pi n, n \in Z => x = \frac{\pi}{3} n, n \in Z$

Теперь рассмотрим второй множитель: $sin7x - cos6x - 2 = 0 => sin7x - cos6x = 2$

Так как функции sin и cos - это ограниченные функции, а именно не превышающие по модулю единицу, то такое равенство возможно тогда и только тогда, когда одновременно sin7x = 1, а cos6x = -1. Решим эти простые уравнения и найдем пересечение корней:

$sin7x = 1 => 7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z => x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} k, k \in Z$

$cos6x = -1 => 6x = \pi + 2\pi m, m \in Z => x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}m, m \in Z$

Теперь приравняем полученные результаты:

$\frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} k = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}m |*\frac{42}{\pi}\\ 3 + 12k = 7 + 14m\\12k - 14m = 4\\6k - 7m = 2$

Заметим, что пара чисел k = 5 и m = 4 является решением, а значит, являются решением все числа вида:

$k = 5 + 7p\\m = 4 + 6p\\ p \in Z$

Подставим это в любую серию корней и найдем пересечения (например, в первую):

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} k, k \in Z => x = x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} (5+7p), p \in Z => x = \frac{\pi}{14} + \frac{10\pi}{7} + 2\pi p, p \in Z => x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi p, p \in Z => x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p, p \in Z$

На промежутке от $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 7 корней.

Ответ: 7 корней