Question

Помогите срочно ! Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет всего 2 решения $\left \{ {{2x^{2} + 2y^{2}=4a } \atop {4xy=4a-2}} \right.$

Answer 1

подставим 4а во второе уравнение системы. получим 4ху=2х²+2у²-2, упростим

-2ху+х²+у²=1; (х-у)²-1=0; (х-у-1)*(х-у+1)=0;  1)х=у+1 или  2)х=у-1 получили две прямые.

Если х=у+1,то 4у*(у+1)+2=а; 4у²+4у+2=а; (2у+1)²=а-1; Если а=1 ,то получим один корень, если а>1, то два корня. Если а<1, то корней нет.

Если рассмотреть первое уравнение, то при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (0, 0) и радиусом а√2, тогда система при а=0  имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи. При а≤0 уравнение не имеет смысла.

используем теперь результат выше и уточним ответ на задачу.

Если х=у+1, то у²+у²+2у+1=2а,у²+у+1/2=а; (у+1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4  два различных решения.

Если х=у-1, то у²+у²-2у+1=2а,у²-у+1/2=а; (у-1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4  два различных решения.