Question

13 команд мечников участвуют в королевском однокруговом турнире. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая четное число встреч. (Однокруговой турнир – это турнир, в котором каждая команда играет друг с другом ровно 1 раз).

Answer 1

Заметим, что в любой момент сумма матчей, сыгранных всеми участниками, четна (ведь каждый матч считается дважды — для двух его участников). Предположим, что в какой-то момент все участники сыграли нечетное количество матчей. Поскольку участников нечетное количество, то сумма сыгранных матчей нечетна. Противоречие. Значит, всегда найдется команда, сыгравшая четное число встреч.