Question

Помогите решить неравенство

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{x^2-3x-10 \geq 0} \atop {x+2\neq 0}} \right.$      $\left \{ {{D=(-3)^2-4\cdot (-10)=49; x_{1}=-2;x_{2}=5} \atop {x\neq 2}} \right.$   $\left \{ {{(x+2)(x-5) \geq 0} \atop {x\neq -2}} \right.$

x∈(-∞; -2) U [5;+∞)

Решаем на каждом из промежутков ОДЗ.

На [5:+∞)  

(x+2) >0  ⇒ умножаем обе части неравенства на (х+2).

Знак неравенства при этом не меняется

$\sqrt{x^2-3x-10} \leq (x+2)(x-5)$

 Замена переменной:

$\sqrt{x^2-3x-10}=t$      ⇒  $x^2-3x-10=t^2$ ⇒   $(x+2)(x-5)=t^2$

$t \leq t^2$

$t^2-t \geq 0$

$t(t-1)\geq 0$

$t \leq 0$      или    $t \geq 1$

Обратная замена:

$\sqrt{x^2-3x-10}\leq 0$                или         $\sqrt{x^2-3x-10} \geq 1$

x=-2   или   x=5                   или           $x^2-3x-10 \geq 1$ ⇒  

.                                                              $x^2-3x-11 \geq 0$

x=5 ∈ [5;+∞)          или     D=9+44=53;  $x \leq \frac{3-\sqrt{53}}{2}$ или $x \geq \frac{3+\sqrt{53}}{2}$

.                                        c учетом   x∈  [5:+∞)    и        $\frac{3+\sqrt{53}}{2} >5,$ .                                         $3+\sqrt{53}>10;$  а  $\sqrt{53}>7;$    $53>7^2$

получаем  о т в е т. $x \in{5}\cup [{ \frac{3+\sqrt{53}}{2}; +\infty)$

На (-∞;- 2)  

(x+2) <0  ⇒ умножаем обе части неравенства на (х+2).

Знак неравенства при этом  меняется

$\sqrt{x^2-3x-10} \geq (x+2)(x-5)$      Та же замена.

$t \geq t^2$    ⇒    $t^2-t \leq 0$    ⇒     $0 \leq t\leq 1$  ⇒    $0 \leq\sqrt{x^2-3x-10} \leq 1$

   

    $\left \{ {{\sqrt{x^2-3x-10} \geq0 \atop {\sqrt{x^2-3x-10} \leq1}} \right.$       $\left \{ {{x\in (-\infty;-2] U[5;+\infty)} \atop {\frac{3-\sqrt{53}}{2}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{53}}{2}}} \right.$

c учетом   x∈ (-∞; -2)  и   $\frac{3-\sqrt{53}}{2} < -2$ , так как    $3-\sqrt{53} <-4$;

.                                                                                         $7 < \sqrt{53}$

получаем  о т в е т. $x \in[ { \frac{3-\sqrt{53}}{2}; -2)$

Объединяем ответы двух рассмотренных случаев:

$[ { \frac{3-\sqrt{53}}{2}; -2)\cup{5}\cup[ { \frac{3+\sqrt{53}}{2}; +\infty)$  -  О т в е т.