Question

10 БАЛЛОВ, ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО

Довести, що відношення периметра трикутника до однієї із його сторін
дорівнює відношенню висоти, яка проведена до цієї сторони, до радіуса
вписаного кола.

Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из его сторон
равен отношению высоты, проведенной к этой стороне, к радиусу
вписанной окружности.​

Answer 1

Рисунок рисовать даже необязательно. Введем следующие числовые параметры: пусть $a$ - одна из сторон произвольного треугольника, $h_a$ - сторона, проведенная к этой стороне; $P$ - периметр треугольника; $r$ - радиус вписанной окружности.

Запишем формулы для вычисления площади треугольника:

$S=\frac{1}{2}ah_a$,    $S=\frac{1}{2}Pr$ ⇒ $\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}Pr$.

Отсюда следует, что $ah_a=Pr\Rightarrow \frac{P}{a}=\frac{h_a}{r}$, что и требовалось доказать.