Question

функция убывает на всей числовой оси

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

Производная этой функции равна

$f'(x)=-e^x\cdot x^2-2xe^x-\dfrac{b^2e^x}{9}=-e^x(x^2+2x+\dfrac{b^2}{9})$

Чтобы функция убывала на всей числовой оси, неравенство f'(x) < 0 должно выполняться для любого x. Заметим, что -eˣ < 0 при любом x. Тогда $x^2+2x+\dfrac{b^2}{9}>0$. Это парабола, ветви направлены вверх. Она не имеет корней, а значит, лежит выше оси Ox, если дискриминант отрицателен: $D=4-\dfrac{4b^2}{9}<0\Leftrightarrow b^2>9\Leftrightarrow b\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$. Минимальное натуральное b, подходящее условиям — 4.