Question

Помогите пожалуйста #11,12,13

Answer 1

11. Для нахождения общих точек приравняем ординаты функций:

$\sqrt{x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}}=-4x^2+\frac{8}{3}x-\frac{4}{9};$

$\sqrt{(x-\frac{1}{3})^2}=-4(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9});\\\\ |x-\frac{1}{3}|=-4(x-\frac{1}{3})^2$

Заметим, что правая части $\leq 0$ при любых x, а левая - $\geq 0$ при любом x. Соответственно, равенство может достигаться только тогда, когда обе части одновременно равны 0 - очевидно, что это происходит при $x=\frac{1}{3}$.

Теперь понятно, что графики функций имеют одну общую точку.

12. В левой части выделим полные квадраты:

$x^2-8x+y^2+y=\frac{3}{4};\\\\(x^2-8x+16)-16+(y^2+y+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}=\frac{3}{4};\\\\ (x-4)^2+(y+\frac{1}{2})^2=17;\\\\(x-4)^2+(y-(-0.5))^2=(\sqrt{17})^2$

Последнее уравнение задает окружность с центром в точке (4; -0,5) и радиусом $\sqrt{17}$

Сумма координат центра равна 4 + (-0,5) = 4 - 0,5 = 3,5.

13. На ОДЗ - x + 3 > 0 ⇒ x > -3, имеем:

$36^{\log_6(x+3)}=6^{2\log_6(x+3)}=6^{\log_6(x+3)^2}=(x+3)^2.$

Итого имеем неравенство

$(x+3)^2\leq 25;\\\\(x+3)^2-5^2\leq 0;\\\\(x+3-5)(x+3+5)\leq 0\\\\(x-2)(x+8)\leq 0 \Rightarrow x\in[-8;2]$

С учетом ОДЗ получаем ответ: $x\in(-3;2]$